三角函数族

傅立叶级数

对于一个周期函数，它都能展开为三角函数的级数

以$2\pi$为周期的函数

如果一个函数以$2\pi$为周期，则它可以展开为形如$\frac{a0}{2} + \sum{n=1}^{\infty} (a_n cosnx + b_n sinnx)$，其中

$\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)cosnx dx \\ b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)sinnx dx \end{align*}$

若记$s(x) = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^{\infty} (a_n cosnx + b_n sinnx)$，则

$s(x) = \begin{cases} f(x), \space f(x)的连续点 \\ \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}，\space f(x)的间断点 \\ \frac{f(-\pi^+) + f(\pi^-)}{2}，\space x=\pm \pi \end{cases}$

以$2l$为周期的函数

如果一个函数以$2\pi$为周期，则它可以展开为形如$\frac{a0}{2} + \sum{n=1}^{\infty} (a_n cos \frac{n\pi}{l}x + b_n sin \frac{n\pi}{l})$，其中

$\begin{align*} a_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)cos \frac{n\pi}{l}x dx \\ b_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)sin \frac{n\pi}{l}x dx \end{align*}$

若记若记$s(x) = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^{\infty} (a_n cos \frac{n\pi}{l}x + b_n sin \frac{n\pi}{l})$，则

$s(x) = \begin{cases} f(x), \space f(x)的连续点 \\ \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}，\space f(x)的间断点 \\ \frac{f(-l^+) + f(l^-)}{2}，\space x=\pm l \end{cases}$

偶函数

对于偶函数其傅立叶级数展开形式没有正弦项

奇函数

对于奇函数其傅立叶级数展开形式只有正弦项