常微分方程的解

常微分方程

方程的解为相若$y=f(x)$的，只有一个自变量的微分方程，称为常微分方程，如果有多个自变量，则称为偏微分方程。

可分离变量型

形如$y’ = g(x)$的微分方程，为可分离变量型的常微分方程。

其解法为：

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= g(x) \\\\ dy &= g(x)dx \\\\ \text{对上式两边同时积分：} \int dy &= \int g(x)dx \end{align*}$$

可转化为可分离变量型

形如$y’ = g(ay+bx+c)$的微分方程，可以转化为可分离变量型的微分方程

解：

​ 令

$$u = ay+bx+c$$

​ 则

$$\frac{du}{dx} = a\frac{dy}{dx} + b \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{a}(\frac{du}{dx} - b)$$

​ 则原式变为：

$$\frac{1}{a}(\frac{du}{dx} - b) = g(u) \\ \frac{du}{ag(u) + b} = dx$$

​ 即转化为了可分离变量型

齐次常微分方程

形如$\frac{dy}{dx} = g(\frac{y}{x})$或$\frac{dx}{dy} = g(\frac{x}{y})$的微分方程称为0次齐次常微分方程，其解法为：

解：

​ 令

$$u = \frac{y}{x} \\ y = ux \\ \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$$

​ 则：

$$u + x\frac{du}{dx} = g(u) \\ \frac{du}{g(u) - u} = \frac{dx}{x}$$

​ 也转换为了可分离变量型的微分方程了。

一次线性常微分方程

1、$y’ + p(x)y = q(x)$

其解的公式为：

$$y = e^{- \int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx} q(x) + C \space dx],\space C为任意常数 \tag{1}$$

2、$y’ + p(x)y = q(x)y^n$

解：

​ 原式两边同除$y^n$

$$y'y^{-n} + p(x)y^{1-n} = q(x)$$

​ 令

$$u = y^{1-n}$$

​ 则有

$$\frac{du}{dx} = (1-n)y^{-n}y' \\ y'y^{-n} = \frac{du}{(1-n)dx}$$

​ 则原式转换为：

$$\frac{du}{(1-n)dx} + p(x)u = q(x) \\ \frac{du}{dx} + (1-n) p(x)u = (1-n)q(x)$$

​ 再直接使用公式(1)即可。

二次微分方程

可降次二次微分方程

1、$y’’ = g(y’, x)$

解：

​ 令

$$p = y'$$

​ 则

$$y'' = p' = \frac{dp}{dx}$$

​ 则原式转换为：

$$\frac{dp}{dx} = g(p,x)$$

2、$y’’ = g(y’, y)$

解：

​ 令

$$p = y'$$

​ 则

$$y'' = p' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$$

​ 则原式转换为：

$$p \frac{dp}{dy} = g(p, y)$$

二次常系数微分方程

形如$y’’+py’ + qy = g(x)$，其中$p,q$为常数的微分方程称为二次常系数微分方程。

二次常系数齐次微分方程

如果二次常系数微分方程中g(x) = 0，则称该方程为二次常系数齐次微分方程。其通解取决于其对应的特征方程的解的个数。

若有$y’’+py’ + qy = 0$，其对应的特征方程为$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$，则其通解为：

$$y = \begin{cases} C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}，\lambda_1 与 \lambda_2 为特征方程的两不同的实数解 \\ e^{\lambda x}(C_1 x + C_2)，\lambda_1 = \lambda_2 为特征方程两个相同的实数解 \\ e^{ax}(C_1 cosbx + C_2 sinbx)，\lambda = a \pm bi，为复数解 \end{cases}$$

其中$C_1、C_2$为任意常数

二次常系数非齐次微分方程

二次常系数非齐次微分方程的解的结构为其对应的齐次微分方程的通解再加上非齐次微分方程对应的一个特解。

一般考察的非齐次方程有两种：

1、$g(x) = P_n(x)e^{ax}$，$P_n(x)$为x的n次多项式

其特解公式为：

$$y^* = e^{ax} Q_n(x) x^k, \begin{cases} k=0, a不是特征方程的对应的解 \\ k=1, a是特征方程的其中一个实数解 \\ k=2, a是特征方程的二重根 \end{cases}$$

$Q_n(x)$为x的n次多项式

2、$g(x) = e^{ax} [P_n(x)cosbx + Q_m(x)sinbx]$，$h_n$为x的n次多项式，$h_m$为x的m次多项式

其特解公式为：

$$y^* = e^{ax}[R_s^{(1)}(x)cosbx + R_s^{(2)}(x)sinbx]x^k, \begin{cases} k=0, a \pm bi 不是特征方程的根 \\ k=1, a \pm bi 是特征方程的根 \end{cases}$$

$h_s(x)$为x的s次多项式，其中s = $max{m, n}$

要求出多项式的具体参数，就将特解带回原方程求解即可

欧拉方程

$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + px \frac{dy}{dx} + qy = f(x)$，其中$p、q$为常数，这种方程即为欧拉方程。

解：

​ 对于 x>0，令

$$x = e^t$$

​ 则

$$t = lnx \\ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$$

​ 则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d\frac{dy}{dx}}{dx} = -\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \frac{d^2 y}{dt dx} = -\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \frac{d^2 y}{dt^2} \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{x^2} \frac{d^2 y}{dt^2}$$

​ 则原式转换为：

$$\frac{d^2 y}{dt^2} + (p-1)\frac{dy}{dt} + qy = f(e^t)$$

​ 即转化为了二次常系数微分方程。

​ 同理对于x < 0，也可以用同样的方法。