线性代数笔记

这篇笔记用于记录经常在线性代数中用到的相关知识

线性代数基本术语

1、n阶矩阵即n阶方阵

2、如果矩阵A与矩阵B都是$m \times n$矩阵，就称A和B为同型矩阵

矩阵的乘法性质

1、结合律：$(AB)C=A(BC)$

2、数乘结合律：$k(AB) = (kA)B = A(kB)$，k为常数

3、分配律：$A(B+C) = AB+AC$

4、矩阵的乘法没有交换律，即一般有$AB \neq BA$，如果有$AB \neq BA$，称A与B是不可交换的；当$AB=BA$时，称A与B是可交换的。

5、即使有$A \neq 0(0矩阵)$，由$AB=BA$也不能退出$B=C$

6、$f(A) = ak A^k + a{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I,(a_0、a_1、\ldots 、a_n为常数)$，称为方阵A的k次多项式，如果有多项式$f(x)$与$g(x)$，则有$f(A)g(A) = g(A)f(A)$，注意都是A。但是一般情况下$f(A)g(B) \neq f(B)f(A)$。

7、$(A+\lambda I)^n = \sum_{k=0}^{n} \lambda^k A^{n-k}$

矩阵的转置的性质

1、$(A^T)^T = A$

2、$(A+B)^T = A^T + B^T$

3、$(kA)^T = k(A^T)$

4、$(AB)^T = B^T A^T$，$(A1 A_2 \cdots A_n)^T = {A_n}^T {A{n-1}}^T \cdots {A_1}^T$，$(A^n)^T = (A^T)^n$

5、若$A^T A = 0$，则$A = A^T = 0$

6、若$A^T = A$，则称A为对称矩阵；若$A^T = -A$，则称A为反称矩阵

8、实对称矩阵的n次方仍是实对称矩阵，证明：$A^n = (A^T)^n = (A^n)^T $

逆矩阵的性质

A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵，使得$AB=BA=I$，则称A为可逆矩阵。A的可逆矩阵唯一，记为$A^{-1}$。

在使用处等变换求解矩阵的逆矩阵的过程中，如果使用行变换则只能全程使用行变换，如果使用列变换则只能全程使用列变换

1、$(A^{-1})^{-1} = A$

2、$(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$

3、$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$，$(A1 A_2 \cdots A_n) = {A_n}^{-1} {A{n-1}}^{-1} \cdots {A_1}^{-1}$，$(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$

4、

$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & & & \\ & a_{2,2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{n,n} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_{1,1}} & & & \\ & \frac{1}{a_{2,2}} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \frac{1}{a_{n,n}} \end{pmatrix}$$

5、

$$\begin{pmatrix} & & & a_{1,n} \\ & & a_{2,n-1} & \\ & \cdots & & \\ a_{n,1} & & & \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} & & & \frac{1}{a_{n, 1}} \\ & & \frac{1}{a_{n-1, 2}} & \\ & \cdots & & \\ \frac{1}{a_{1, n}} & & & \\ \end{pmatrix}$$

6、$(E{ij})^{-1} = E{ij}$，$(E{i(c)})^{-1} = E{i(\frac{1}{c})}$，$(E{ij(c)})^{-1} = E{ij(-c)}$

行列式的性质

1、

$$\left| \begin{array} {cccc} a_{1} & & & \\ & a_{2} & & \\ & & \ddots & \\ \star & & & a_{n} \end{array} \right| = \left| \begin{array} {cccc} a_{1} & & & \star \\ & a_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{n} \end{array} \right| = a_1 a_2 \cdots a_n$$

2、

$$\left| \begin{array} {cccc} & & & a_n \\ & & \cdots & \\ & a_2 & & \\ a_1 & & & \star \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array} {cccc} \star & & & a_n \\ & & \cdots & \\ & a_2 & &\\ a_1 & & & \\ \end{array} \right| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_1 a_2 \cdots a_n$$

3、交换矩阵$A$的两行的到$A’$，则$|A’| = -|A|$，即有$|E_{ij}| = -1$

4、将矩阵$A$的某一行数乘k得到$A’$，则$|A’| = k|A|$，即有$|E_{i(c)} = C|$

5、将矩阵$A$的某一行的k倍加到另一行的到$A’$，则$|A’| = |A|$，即有$|E_{ij{c}}| = 1$

6、$|A^T| = |A|$

7、$|A^{-1}| = |A|^{-1}$

8、$|AB| = |A||B|$，继而有$|A^n| = |A|^n$

9、$|kA| = k^n |A|$，n为方阵的阶数

10、范德蒙行列式：

$$\left| \begin{array} {cccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{array} \right| = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j)$$

11、分块矩阵行列式

$$\left| \begin{array} {cccc} B_{m \times m} & 0 \\ \\ \star & C_{n \times n} \end{array} \right| = \left| \begin{array} {cccc} B_{m \times m} & \star \\ \\ 0 & C_{n \times n} \end{array} \right| = |B||C|$$ $$\left| \begin{array} {cccc} 0 & C_{r \times r} \\ \\ B_{s \times s} & \star \end{array} \right| = \left| \begin{array} {cccc} \star & C_{r \times r} \\ \\ B_{s \times s} & 0 \end{array} \right| = (-1)^{rs} |B||C|$$

伴随矩阵性质

若方阵

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

则其伴随矩阵为：

$$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & & A_{nn} \end{pmatrix}$$

其中$A{ij}$为$a{ij}$的代数余子式，注意$A^*$的下标排列方式

1、$\sum{k=1}^{n} a{ik} A_{jk} = 0$，($i \neq j; i, j = 1、2、\ldots \space、n$)，即矩阵的任一行（列）的元素乘以另一行(列)对应元的代数余子式之和为0

2、$AA^ = A^ A = |A|I$，$\implies A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

3、$(kA)^ = k^{n-1}A^$，n为方阵阶数

4、$(A^)^{-1} = (A^{-1})^$，$(A^T)^ = (A^)^T$

5、$|A^*| = |A|^{n-1}$，n为方阵阶数

6、$(AB)^ = B^ A^$，$(A^)^n = (A^n)^*$

克拉默法则

设n阶矩阵$A$可逆则线性方程组$Ax=b$有唯一解$(x_1,x_2, \space \ldots \space,x_n)^T$，其中$x_i = \frac{|A_i|}{A}$，$|A_i|$表示用b代替｜A｜中第j列得到的行列式

矩阵的秩

1、初等变换不改变矩阵的秩

2、设A为$m \times n$矩阵，则R(A) = r的充分必要条件是通过行初等变换(行变换和列变换能同时使用)能将A化为具有r个非零行的行阶梯行矩阵。这也是求解矩阵的秩的基本方法。

3、设$A$为n阶矩阵，则A可逆的充分必要条件是$R(A) = n$，即$A可逆 \iff R(A) = n$

4、$R(A) = R(A^T)$，$R(A^TA) = R(AA^T) = R(A)$

5、$R(A^*) = \begin{cases} n, \space 若R(A) = n \ 1, \space 若R(A)=n-1 \ 0, \space 若R(A) < n-1 \end{cases}$ ，这个性质的一个应用是证明A*为0矩阵，则只需要证明$R(A)< n-1$ 即可

6、设$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times s$矩阵，若$AB = 0$，则$R(A) + R(B) \leq n$

7、$R(AB) \leq min{R(A), \space R(B)}$，$R(A+B) \leq R(A) + R(B)$

8、若B为可逆矩阵，则$R(AB) = R(BA) = R(A)$

正交矩阵

矩阵相似

对于同型方阵A、B，若存在可逆矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ = B$，记为$A～B$。