麦克劳林公式是在$x=0$点处展开的泰勒公式

常用函数的麦克劳林公式的展开式：

1、指数函数

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

2、正弦函数

$sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

3、余弦函数

$cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

4、对数函数

$ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

5、幂函数

$(1+x)^{\alpha} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha-n+1)}{n!} x^n$

一个简单的记忆口诀: 幂指无负1，对数无阶乘，幂对起于1，首项都为正

几个重要的低阶展开的麦克劳林公式

1、$sinx = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^3)$，$arcsinx = x + \frac{x^3}{3!} + O(x^3)$

2、$tanx = x + \frac{x^3}{3} + O(x^3)$，$arctanx = x - \frac{x^3}{3} + O(x^3)$

3、$cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^4)$，$arccosx = \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{3!}-O(x^3)$

4、$ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^3)$

5、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^3)$

6、$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + O(x^2)$

利用上述公式可以得到一组“差函数的无穷小等价替换，例如：$x-sinx ～ \frac{x^3}{6}$