介值定理
1、如果函数$f(x) \in C[a,b]$，即在$(a,b)$上连续，则存在$\eta \in (a,b)$，使得$f(\eta)$介于$f(a)$与$f(b)$之间。
2、如果函数$f(x) \in C[a,b]$，且在$f(x)$在$[a,b]$上取得最小值min，最大值max，则存在$\eta \in (a,b)$，使得$f(\eta) in [min, max]$。
费马定理
若函数$f(x)$一阶可导，且在点$x_0$出取得极值，则$f’(x_0) = 0$
罗尔中值定理
若函数$f(x) \in C[a,b]$，且$f(a)=f(b)$，则存在$\eta \in (a,b)$，使得$f’(\eta) = 0$
洛尔定理的推广：
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拉格朗日中值定理
若函数$f(x) \in C[a,b]$，则存在$\eta \in (a,b)$，使得$f(b) - f(a) = f’(\eta)(b-a)$。
证明：
构造函数$F(x) = [f(b) - f(a)]x - (b-a)f(x)$，则有$F(a) = F(b)$，则根据罗尔中值定理可证得。
柯西中值定理
如函数$f(x) \in C[a,b], g(x) \in C[a,b]$，则存在$\eta \in (a,b)$，使得:
证明：
构造函数$F(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - f(x)[f(b) - f(a)]$ ，然后有$F(a) = F(b)$，则根据罗尔中值定理可证得。
积分中值定理
若$f(x)$在$[a,b]$上可积分，则存在$\eta \in (a,b)$，使得$f(\eta)(b-a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$
推广的积分中值定理
设$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)$在$[a,b]$上不变号，则存在$\eta \in (a,b)$，使得$\int{a}^{b} f(x)g(x)dx = f(\eta) \int{a}^{b}g(x)dx$
证明：
设$F(x) = \int{a}^{x} f(t)g(t)dt$，$G(x) = \int{a}^{x}g(t)dt$，在$(a,b)$上使用柯西中值定理即可证得。