级数收敛最基础判定
充分必要条件
一个级数$an$收敛的充分必要条件是级数的前n项和数列$S_n=\sum{i=1}^{n}ai$收敛，而一般这个判定方法只对于那些能够求出前n项和数列通项公式的级数有很好的判定，然而大多数的级数都无法求出前n项和数列。所以对于一些常见的特殊数列有特别的判定方式
必要条件
级数收敛的必要条件是:
性质
1、如果一个级数收敛，则去掉有限项后的级数仍然收敛。
正项级数的判敛法
充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件是级数的前n项和数列$S_n$有界。
证明：
因为为正项级数，则前n项和$S_n$单调递增，
又因为$S_n$有界，则根据单调有界性原则，数列$S_n$收敛，证毕。
充分条件
比较判敛法
如果有正项级数$\sum u_n$和正项级数$\sum v_n$，如果存在N，当$n>N$时，有$u_n < v_n$，则有：
1、若$v_n$收敛，则$u_n$收敛
2、若$u_n$收敛、则$v_n$收敛
比较判敛法的极限形式
如果有正项级数$\sum un$和正项级数$\sum v_n$，且$\lim{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \rho$，则有：
1、若$\rho=0$，则说明存在N，当$n > N$时，有$u_n < v_n$，所以当$v_n$收敛，$u_n$收敛，$u_n$发散，$v_n$发散。
2、若$\rho = \infty$，则说明存在N，当$n > N$时，有$u_n > v_n$，所以当$v_n$发散，$u_n$发散，$u_n$收敛，$v_n$收敛。
3、若$0 < \rho < \infty$，则$u_n$与$v_n$有相同的敛散性。
比值判别法
对于正项级数$\sum an$，有$\lim{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$，则有：
1、若$\rho < 1$，级数收敛
2、若$\rho = 1$，无法判定敛散性
3、若$p > 1$，级数发散
根值判敛法
对于正项级数$\sum a_n$，有$\sqrt[n]{a_n} = \rho$，则有：
1、若$\rho < 1$，级数收敛
2、若$\rho = 1$，无法判定敛散性
3、若$p > 1$，级数发散
交错级数
形如$1+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{4})、\cdots = \sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$的，正负号一直交替出现的级数称为交错级数。
充分条件
对于交错级数$\sum (-1)^n an$，如果$a_n$单调不增(注意这里是$a_n$，不是$(-1)^n a_n$，$a_n$符号是一致的，即要么$a_n$都为正，要没都为负)，且$\lim{n \to \infty} a_n = 0$，则该交错级数收敛。
绝对收敛与条件收敛
绝对值级数
对于级数$\sum a_n$，每一项加上绝对值后的级数$\sum | a_n |$，称为绝对值级数。
绝对收敛
对于级数$\sum a_n$，如果其绝对值级数$\sum |a_n|$收敛，则称级数$a_n$绝对收敛。
如果一个级数绝对收敛，则原级数必定收敛
条件收敛
对于级数$\sum a_n$，如果$a_n$收敛，但是其绝对值级数$\sum |a_n|$不收敛，则称$a_n$条件收敛。
绝对收敛的级数满足级数的交换律，收敛的级数满足级数结合律
幂级数
形如$\sum a_n(x-x_0)^n$，其中$a_n、x_0$为常数的级数称为幂级数。
最常用的幂级数为: $\sum a_n x^n$。
阿贝尔定理
对于幂级数$\sum a_n x^n$，如果该级数在$x_0$处收敛，则对于任意$|x| < |x_0|$，级数绝对收敛；如果该级数在$x_0$处发散，则对于任意$|x| > |x_0|$，级数发散。
收敛半径
对于幂级数$\sum an x^n$，如果$\lim{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho$，则收敛半径
则，对于任意$|x| < |R|$，都有级数绝对收敛；对于任意$|x| > |R|$，都有级数发散。对于 $x=R$和$x=-R$，级数的敛散性需要带入后进一步判断。
如果要求幂级数$\sum a_n(x-x_0)^n$，的收敛半径也是一样的方法，他和级数$\sum a_n x^n$的收敛半径相同，只是相当于x的收敛区间的取值左右平移了而已。
幂级数的性质
1、对幂级数$\sum a_n(x-x_0)^n$逐项积分后或者逐项求导后，级数的收敛半径不变，收敛区间的端点值的敛散性可能发生变化
2、如果级数$\sum a_n(x-x_0)^n$在$x_1$处条件收敛，则该级数的收敛半径为$｜x_1-x_o｜$
一些特殊级数的敛散性
调和级数
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